Чому ми так мало пам`ятаємо зі школи?
Потік і циркуляція векторного поля
П про матеріалами лекції Річарда Фейнмана
При описі законів електрики з точки зору векторних полів, перед нами відкриваються дві математично важливі характеристики векторного поля: потік і циркуляція. Добре б розібратися, що це за математичні поняття і в чому полягає їх практичний сенс.
На другу частину питання легко відповісти відразу, адже поняття потоку і циркуляції лежать в основі[рівнянь Максвелла] , на яких, по суті, і тримається вся сучасна електродинаміка.
Так, наприклад, закон електромагнітної індукції може бути сформульовано таким чином: циркуляція напруженості електричного поля E по замкнутому контуру C дорівнює швидкості зміни потоку магнітного поля B через площу поверхні S, обмеженою цим контуром С.
Далі ми досить просто, на зрозумілих прикладах з рідиною, опишемо те, як математично визначаються, з чого беруться й виходять дані характеристики поля.
[
]
Потік векторного поля
Для початку давайте покажемо навколо досліджуваної області простору якусь замкнуту поверхню абсолютно довільної форми. Після того як ми цю поверхню зобразимо, задамося питанням, чи витікає через дану замкнуту поверхню досліджуваний об`єкт, який ми називаємо полем? Щоб зрозуміти про що тут йде мова, розглянемо простий приклад з рідиною.
Припустимо, ми досліджуємо поле швидкостей якоїсь рідини. Для подібного прикладу має сенс поцікавитися: чи витікає в одиницю часу через цю поверхню більше рідини, ніж втікає всередину обсягу обмеженого даної поверхнею? Іншими словами, чи завжди швидкість витікання спрямована головним чином зсередини - назовні?
[
]
Словосполученням «потік векторного поля» (а для нашого прикладу більш точним буде вираз «потік швидкості рідини») домовимося називати загальна кількість уявної рідини, яка саме витікає назовні через поверхню з розглянутого обсягу, обмеженого даної замкнутої поверхнею (для потоку швидкості рідини - скільки рідини випливає з обсягу за одиницю часу).
В результаті, потік через елемент поверхні виявиться дорівнює добутку площі елемента поверхні на перпендикулярну складову швидкості. Тоді загальний (сумарний) потік через всю поверхню буде дорівнює добутку середньої нормальної складової швидкості, яку будемо відраховувати зсередини назовні, на загальну площу поверхні.
Тепер повернемося до електричного поля. Електричне поле, звичайно, не можна вважати швидкістю течії якоїсь рідини, проте ми маємо право ввести математичне поняття потоку, схоже на те, що ми описали вище як потік швидкості рідини.
Тільки у випадку з електричним полем, його потік може бути визначений через середню нормальну компоненту напруженості електричного поля Е. Крім того, потік електричного поля можна визначити не обов`язково через замкнуту поверхню, а через будь-яку обмежену поверхню, що володіє не дорівнює нулю площею S.
Циркуляція векторного поля
Всім добре відомо, що поля можна для наочності зображати у вигляді так званих силових ліній, в кожній точці яких напрямок дотичної збігається з напрямком напруженості поля.
Знову повернемося до аналогії з рідиною і уявімо собі поле швидкостей рідини. Задамося питанням: циркулює рідина? Тобто чи рухається вона переважно у напрямку якогось уявного замкнутого контуру?
[
]
Для наочності уявімо, що рідина в якомусь великому посудині якось рухається (рис a), і ми різко заморозили майже весь її обсяг, але примудрилися залишити ні замороженим обсяг в формі рівною замкнутої трубки, в якій тертя рідини об стінки відсутня (рис b ).
За межами цієї трубки рідина перетворилася на лід, і тому не може рухатися, проте всередині трубки рідина здатна продовжити свій рух за умови що є переважаючий імпульс, який жене її, наприклад за годинниковою стрілкою (рис c). Тоді твір швидкості рідини в трубці на довжину трубки ми і назвемо циркуляцією швидкості рідини.
Подібним чином ми можемо визначити циркуляцію і для векторного поля, хоча, знову ж таки, не можна сказати, що поле є швидкістю чогось, проте математичну характеристику «циркуляція» по контуру - визначити можна.
Отже, циркуляція векторного поля по уявному замкнутому контуру може бути визначена як добуток номінальної середньої вихідної дотичній компоненти вектора в напрямку обходу контуру - на довжину контуру.
